Question

12．已知f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，对命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．”
（1）写出其逆命题，判断其真假
（2）写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据逆命题的定义写出命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的逆命题，再进行证明；
（2）写出命题的逆否名，由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真，利用f（x）在R上是增函数，进行证明；

解答 解（1）逆命题：
已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0．
逆命题为真．
（2）逆否命题：
已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），则a+b＜0．
原命题为真，证明如下：∵a+b≥0，∴a≥-b，b≥-a．
又∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）．
∴f（a）+f（b）≥f（-b）+f（-a）=f（-a）+f（-b）．
∴原命题为真命题．∴其逆否命题也为真命题．

点评 此题主要考查四种命题的关系，逆命题、否命题的定义，注意互为逆否命题同真假，此题是一道很基础的题