Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₂作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=\frac{7}{4}$，求椭圆方程．

Answer 1

分析 由题意求出M、N的坐标，求得|MN|，再求得$\overrightarrow{{F}_{1}M}、\overrightarrow{{F}_{1}N}$的坐标，结合$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=\frac{7}{4}$列方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求．

解答 解：令x=c，代入椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，解得$y=±\frac{b^2}{a}$，
∴M，N的坐标分别是$（{c，\frac{b^2}{a}}），（{c，-\frac{b^2}{a}}）$，
∴$|{MN}|=\frac{{2{b^2}}}{a}$=3，①
$\overrightarrow{{F_1}M}=（2c，\frac{b^2}{a}）$，$\overrightarrow{{F_1}N}=（2c，-\frac{b^2}{a}）$，则$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_1}N}=4{c^2}-\frac{b^4}{a^2}=\frac{7}{4}$．②
联立①②，解得a=2，$b=\sqrt{3}$，
∴所求椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量在解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．