Question

14．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）若AB=AC=AP=2，设D，E分别为棱AC，AP的中点，F为△ABD内一点，且满足$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}）$，求直线BD与EF所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AC．利用线面垂直的判定与性质定理即可证明．
（II）建立如图所示的空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．

解答 （I）证明：∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC．
又AB⊥AC，AB∩PA=A．
∴AC⊥平面PAB，AB?平面ABC，
∴AC⊥AB．
（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），
D（1，0，0），E（0，0，1），
$\overrightarrow{DA}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{DB}$=（-1，2，0），
∴$\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}）$=$（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，0）$．
$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$=$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，0）$．
∴$\overrightarrow{EF}$=$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，-1）$．
∴cos$＜\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{EF}＞$=$\frac{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+1}}$=-$\frac{3\sqrt{70}}{70}$．
∴异面直线BD与EF所成角为$arccos\frac{{3\sqrt{70}}}{70}$．

点评 本题考查了向量夹角公式、异面直线所成的角、数量积运算性质、线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．