题目内容

已知向量
a
={1，2，3}，
b
={3，0，-1}，
c
={-
1
5
，1，-
3
5
}，有下列结论：
①|
a
+
b
+
c
|=|
a
-
b
-
c
|；
②（
a
+
b
+
c
）2=
a
2+
b
2+
c
2；
③（
a
•
b
）
c
=
a
（
b
•
c
）；
④（
a
+
b
）•
c
=
a
•（
b
-
c
）．
其中正确的结论的个数有（　　）
A、4个B、3个C、2个D、1个
考点：命题的真假判断与应用
专题：平面向量及应用
分析：利用空间向量的数量积及坐标运算对①②③④四个选项逐一判断即可．
解答： 解：∵
a
={1，2，3}，
b
={3，0，-1}，
c
={-
1
5
，1，-
3
5
}，
∵
a
+
b
+
c
={
19
5
，3，
7
5
}，
a
-
b
-
c
={
-9
5
，1，
7
5
}，
∴①|
a
+
b
+
c
|=
(
19
5
)2+32+(
7
5
)2
≠
(
-9
5
)2+12+(
7
5
)2
=|
a
-
b
-
c
|，故①错误；
②∵
a
•
b
=1×3+2×0+3×（-1）=0，
b
•
c
=3×（-
1
5
）+0×1+（-1）×（-
3
5
）=0，
a
•
c
=-
1
5
+2×1+3×（-
3
5
）=0，
∴（
a
+
b
+
c
）2=
a
2+
b
2+
c
2+2
a
•
b
+2
b
•
c
+2
a
•
c
=
a
2+
b
2+
c
2，故②正确；
③∵
a
={1，2，3}与
c
={-
1
5
，1，-
3
5
}不共线，
∴（
a
•
b
）
c
≠
a
（
b
•
c
），故③错误；
④∵（
a
+
b
）•
c
=
b
•
c
+
a
•
c
=0+0=0，
a
•（
b
-
c
）=
a
•
b
-
a
•
c
=0-0=0，
∴（
a
+
b
）•
c
=
a
•（
b
-
c
），即④正确．
综上所述，正确的结论的个数有2个，
故选：C．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查向量的数量积及其坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
抛物线的方程是y=x2-1，则阴影部分的面积是
 
．
已知命题p：?x∈R，sinx=1；命题q：?x∈R，x2+1＜0，则下列判断正确的是（　　）
A、p是假命题
B、￢p是假命题
C、q是真命题
D、￢q是假命题
定义在R上的偶函数在[0，7]上是减函数，则f（x）（　　）
A、在[-7，0]上是增函数
B、在[-7，0]上是减函数
C、在[7，+∞）上是减函数
D、在[-7，7]是增函数
若函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上是减函数，则实数a的取值集合为（　　）
A、{a|a≤-3}
B、{a|a≥5}
C、{-3}
D、{5}
∫
2π
0
（-sinx）dx=（　　）
A、0B、2C、-2D、4
已知f（x）=
2x-a
x2+2
（x∈R）在区间[-1，1]上是增函数，实数a组成集合A，设关于x的方程f（x）=
1
x
的两个非零实根x1，x2，实数m使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|使得对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，则m的解集是（　　）
A、（-∞，-2]∪[2，+∞）
B、（-∞，2.5）∪（2.5，+∞）
C、（-2.5，2.5）
D、（-2，2）
函数y=2sinx，x∈[
π
2
，
5π
2
]和y=±2的图象围成了一个封闭图形，此封闭图形的面积是（　　）
A、4B、2πC、4πD、8π
下列函数为偶函数的是（　　）
A、y=|x-1|
B、y=x3
C、y=
x
D、y=ln
x2+1

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