Question

3．对于各数互不相等的正整数数组（i₁，i₂，i₃，…，i_n）（n是不小于3的正整数），若对任意的p，q∈{1，2，3，…，n}，当p＜q时，有i_p＞i_q，则称i_p，i_q是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序”数，如数组（2，3，1）的逆序数等于2．
（1）则数组（4，2，3，1）的逆序数等于5．
（2）若数组（i₁，i₂，i₃，…，i_n）的逆序数为n，则数组（i_n，i_n-1，…，i₁）的逆序数为$\frac{{n}^{2}-3n}{2}$．

Answer 1

分析 本题可以由逆序数的定义出发，用穷举的方法得到第一个空格的答案，然后用排列组合的方法得出第二个空格的答案．

解答 解：（1）∵数组（4，2，3，1）的逆序分别为4，2；4，3；4，1；2，1；3，1；
∴数组（4，2，3，1）的逆序数为5；
（2）∵若数组（i₁，i₂，i₃，…，i_n）中的逆序数为n，
∴这个数组中可以组成${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$实数对；
∴数组（i_n，i_n-1，…，i₁）的逆序数为：$\frac{n（n-1）}{2}$-n=$\frac{{n}^{2}-3n}{2}$．
故答案为5；$\frac{{n}^{2}-3n}{2}$．

点评 本题考查一个新定义问题，解题的关键是读懂题目条件中所给的条件，并且能够利用条件来解决问题，本题考查排列组合数的应用，考查列举法，是一个非常新颖的问题，是一个考查学生理解能力的题目．