Question

15．如图在直角坐标系xOy中，过动点P的直线与直线l：x=-1垂直，垂足为Q，点F（1，0）满足$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}$．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）证明：以线段PF为直径的圆与y轴相切．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），则Q（-1，y），通过向量的数量积求出动点P的轨迹C的方程；
（2）根据题意，利用抛物线的定义与线段中点的坐标公式，算出PF中点到y轴的距离等于PF长的一半，即可得出以PF为直径的圆与y轴相切．

解答 （1）解：设P（x，y），则Q（-1，y），
∵$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}=\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}$，F（1，0），
∴（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），…（2分）
∴2（x+1）=-2（x-1）+y²，∴y²=4x，即动点P的轨迹C的方程为y²=4x；----------------------------（5分）
（2）证明：根据题意，可得抛物线y²=2px的焦点为F（1，0），
设P（m，n），PF的中点为A（x₁，y₁），
可得x₁=$\frac{1}{2}$（1+m），
由抛物线的定义，得|PF|=|PQ|=m+1，
∴x₁=$\frac{1}{2}$|PF|，即点A到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径．
因此，以PF为直径的圆与y轴相切．--------------------（12分）

点评 本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求法，向量的数量积的运算，属于中档题．