Question

3．已知函数f（x）=x²+1，g（x）=f（f（x））-2λf（x），若函数g（x）在区间[-2，-1]为增函数，则λ的取值范围为（-∞，2]．

Answer 1

分析 求出函数g（x）的解析式，通过换元，得到g（x）=g（t）=t²-2λt+1，求出函数的对称轴，根据二次函数的性质求出λ的范围即可．

解答 解：∵f（x）=x²+1，
∴g（x）=f（f（x））-2λf（x）=（x²+1）²+1-2λ（x²+1），
令t=x²+1，x∈[-2，-1]，
则t∈[2，5]，
故g（x）=g（t）=t²-2λt+1，
对称轴是x=λ，
若函数g（x）在区间[-2，-1]为增函数，
则λ≤2，
故答案为：（-∞，2]．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道中档题．