Question

5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
（1）有男生、有女生且男生人数多于女生；
（2）某男生一定要担任数学科代表；
（3）某女生必须包含在内，但不担任数学科代表；
（ 4 ） 某女生一定担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．

Answer 1

分析 （1）有男生、有女生且男生人数多于女生，先取后排即可；
（2）某男生一定要担任语文科代表，除去该男生后先取后排即可；
（3）先取后排，但先安排该女生；
（4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有${C}_{6}^{3}$种，再安排该男生有${C}_{3}^{1}$种，其余3人全排即可．

解答 解：（1）先取后排，有$（C_5^4C_3^1+C_5^3C_3^2）A_5^5=5400$种…（3分）
（2）除去该男生后先取后排，有$C_7^4A_4^4=840$种…（6分）
（3）先取后排，但先安排该女生，有$C_4^1C_7^4A_4^4=3360$种…（9分）   
（4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有${C}_{6}^{3}$种，再安排该男生有${C}_{3}^{1}$种，其余3人全排有${A}_{3}^{3}$种，共$C_6^3C_3^1A_3^3=360$．种…（12分）

点评 排列组合问题在实际问题中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．