Question

16．在等比数列{a_n}中，若a₃，a₁₅是方程x²-6x+8=0的根，则$\frac{{{a_1}{a_{17}}}}{a_9}$=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由韦达定理得a₃a₁₅=8，由等比数列通项公式性质得：${{a}_{9}}^{2}={a}_{3}{a}_{15}={a}_{1}{a}_{17}$=8，由此能求出$\frac{{{a_1}{a_{17}}}}{a_9}$的值．

解答 解：∵在等比数列{a_n}中，a₃，a₁₅是方程x²-6x+8=0的根，
∴a₃a₁₅=8，
解方程x²-6x+8=0，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=2}\\{{a}_{15}=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=4}\\{{a}_{15}=2}\end{array}\right.$，
∴a₉＞0，
由等比数列通项公式性质得：${{a}_{9}}^{2}={a}_{3}{a}_{15}={a}_{1}{a}_{17}$=8，
∴$\frac{{{a_1}{a_{17}}}}{a_9}$=a₉=$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．