Question

13．求分别满足下列条件的椭圆C的标准方程．
（1）过点（3，-2）且与椭圆4x²+9y²=36有相同焦点．
（ 2 ）中心为原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过F₁的直线交椭圆C于A、B两点，且△ABF₂的周长为16，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析 （1）根据已知求出焦点坐标，结合椭圆过点（3，-2），可得答案；
（2）由已知可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，4a=16，进而可得答案．

解答 解：（1）在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$中c²=a²-b²=9-4=5．
设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{a^2}-5}}=1$，代入点（3，-2），即$\frac{9}{a^2}+\frac{4}{{{a^2}-5}}=1$，…（3分）
解得a²=15或3（舍去），
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$…（6分）
（2）设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
据题意e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，4a=16，…（8分）
∴a=4，c=2$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=8，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，椭圆的标准方程，难度中档．