Question

设F为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1右焦点，P是双曲线上的点，若它的渐近线上，存在一点Q使得|FP|=2|PQ|，则双曲线离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出双曲线的右焦点，一条渐近线，以及右顶点，求出FP的最小值，即有2a不大于c-a，再由离心率公式计算即可得到．

解答： 解：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点F（c，0），
一条渐近线方程为y=

b

a

x，
右顶点为P'（a，0），
由|FP|≥|FP'|=c-a，
当P与P'重合，Q与O重合，则有|OP'|=a，
则2a≥c-a，即为c≤3a，
即有e=

c

a

≤3，
由于e＞1，则1＜e≤3．
故答案为：（1，3]．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的点到焦点的距离的最小值，考查离心率的求法，属于基础题．