题目内容
在矩形ABCD中，AB=3
，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′O⊥面ABD于点O，点O恰在AB上．
（1）求证：BC′⊥面AC′D
（2）求点A与平面BC′D的距离．
| 3 |
（1）求证：BC′⊥面AC′D
（2）求点A与平面BC′D的距离．
考点：直线与平面垂直的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由已知得DA⊥AB，DA⊥BC′，BC′⊥DC′，由此能证明BC′⊥平面AC′D．
（2）过A作AH⊥C′D于H，由BC′⊥平面AC′D，知BC′⊥AH．从而AH⊥平面BC′D．故AH的长就是A点到平面BC′D的距离．由此能求出点A到平面BC′D的距离．
（2）过A作AH⊥C′D于H，由BC′⊥平面AC′D，知BC′⊥AH．从而AH⊥平面BC′D．故AH的长就是A点到平面BC′D的距离．由此能求出点A到平面BC′D的距离．
解答：
（1）证明：∵DA?平面ABD，
AB是BC′在平面ABD内的射影，
DA⊥AB，
∴DA⊥BC′，BC′⊥DC′，
∴BC′⊥平面AC′D．
（2）解：如图所示，过A作AH⊥C′D于H，
∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AH．?∴AH⊥平面BC′D．故AH的长就是A点到平面BC′D的距离．?
∵DA⊥AB，DA⊥BC，∴DA⊥平面ABC′．∴DA⊥AC′．?
在Rt△AC′B中，?
AC′=
=3
，?
在Rt△BC′D中，C′D=CD=3
．?
在Rt△C′AD中，由面积关系，
得AH=
=
=
，
∴点A到平面BC′D的距离为
．
AB是BC′在平面ABD内的射影，
DA⊥AB，
∴DA⊥BC′，BC′⊥DC′，
∴BC′⊥平面AC′D．
（2）解：如图所示，过A作AH⊥C′D于H，
∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AH．?∴AH⊥平面BC′D．故AH的长就是A点到平面BC′D的距离．?
∵DA⊥AB，DA⊥BC，∴DA⊥平面ABC′．∴DA⊥AC′．?
在Rt△AC′B中，?
AC′=
| AB2-BC2 |
| 2 |
在Rt△BC′D中，C′D=CD=3
| 3 |
在Rt△C′AD中，由面积关系，
得AH=
| AC′•AD |
| C′D |
3
| ||
3
|
| 6 |
∴点A到平面BC′D的距离为
| 6 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到直线的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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