Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=

2+x2

+

1

2+x2

有最小值；
②“x²-4x-5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；
③命题 p：?x∈R，tanx=1；命题q：?x∈R，x²-x+1＞0．则命题“p∧（?q）”是假命题；
④函数 f（x）=x³-3x²+1 在点（2，f（2））处的切线方程为y=-3 
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①根据函数的定义域，求出f（x）的最小值；
②判断充分性与必要性是否成立；
③先判断命题p、命题q的真假性，在判断命题“p∧（?q）”的真假性；
④求出f（x）在点（2，f（2））处的切线方程．

解答： 解：对于①，∵函数f（x）=

2+x2

+

1

2+x2

≥

2

+

1

2

=

3 2

2

，
∴当x=0时，f（x）有最小值，①正确；
对于②，“x=5时”，“x²-4x-5=0”，充分性成立，
“x²-4x-5=0”时，“x=5或x=-1”必要性不成立，∴是充分不必要条件，②错误；
对于③，命题 p：?x∈R，tanx=1是真命题；
命题q：?x∈R，x²-x+1＞0是真命题，∴￢q是假命题，
∴命题“p∧（?q）”是假命题，③正确；
对于④，∵函数 f（x）=x³-3x²+1，∴f′（x）=3x²-6x，
∴x=2时，k=f′（2）=0，又y=f（2）=-3，
∴在点（2，f（2））处的切线方程为y=-3，④正确．
综上，正确的命题是③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了充分与必要条件的应用问题，复合命题的真假性问题以及利用导数求函数的切线问题，是综合题目．