Question

已知F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点，直线x=-

a2

c

与x轴相交于点N，并且满足

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，设A，B是上半椭圆上满足

NA

=λ

NB

，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]．
（1）求此椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围；
（2）过A，B两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P，求证：点P在一条定直线上，并求点P的纵坐标的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

2c=2 2( a2 c -c)=2c a2=b2+c2

，从而得到椭圆方程为

x2

2

+y2=1．设直线方程为y=k（x+2），由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

，得：

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线AB的斜率的取值范围．
（2）证明：上半椭圆的方程为y=

1- 1 2 x2

，且切线PA的方程为y=-

x1x

2y1

+

1

y1

，切线PB的方程为y=-

x2x

2y2

+

1

y2

，由

y=- x1x 2y1 + 1 y1 y=- x2x 2y2 + 1 y2

，解得点P的坐标（x₀，y₀）满足

x0=- 2(y2-y1) 2(y2-y1) =-1 y0= x2-x1 2(y2-y1) = 1 2kAB

，由此能证明点P在定直线x=-1上，并且点P的纵坐标的取值范围．

解答： （1）解：∵

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，
∴

2c=2 2( a2 c -c)=2c a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
∵A，B是上半椭圆上满足

NA

=λ

NB

，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]，
∴A、B、N三点共线，∵N（-2，0），∴设直线方程为y=k（x+2），k≠0，
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

，消去x，得：

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0，
由△=(

4

k

)2-8•

2k2+1

k2

＞0，解得0＜k＜

2

2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理，得y1+y2=

4k

2k2+1

，y1y2=

2k2

2k2+1

，①
又由λ_NA=λ_NB，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），∴y₁=λy₂，②
将②式代入①式，得：

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λy22= 2k2  2k2+1

，
消去y₂得：

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

，
设g（λ）=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2，
当λ∈[

1

5

，

1

3

]时，g（λ）是减函数，
∴

16

3

≤g(λ)≤

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，
解得

1

18

≤k2≤

1

4

，又由0＜k＜

2

2

，得

2

6

≤k≤

1

2

，
∴直线AB的斜率有取值范围是[

2

6

，

1

2

]．
（2）证明：上半椭圆的方程为y=

1- 1 2 x2

，
且y₁=

1- 1 2 x12

，y2=

1- 1 2 x22

，
求导可得y′=

-x

2 1- 1 2 x2

，
所以两条切线的斜率分别为kPA=-

x1

2 1- 1 2 x12

，kPB=-

x2

2 1- 1 2 x22

=-

x2

2y2

，
切线PA的方程是y-y₁=-

x1

2y1

（x-x₁），
即y=-

x1x

2y1

+

x12+2y12

2y1

，
又x12+2y12=2，
从而切线PA的方程为y=-

x1x

2y1

+

1

y1

，
同理可得切线PB的方程为y=-

x2x

2y2

+

1

y2

，
由

y=- x1x 2y1 + 1 y1 y=- x2x 2y2 + 1 y2

，解得点P的坐标（x₀，y₀）满足

x0=- 2(y2-y1) x2y1-x1y2 y0=- x2-x1 x2y1-x1y2

，
再由

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2

，得

x1+2

y1

=

x2+2

y2

，∴x₂y₁-x₁y₂=2（y₂-y₁），

x1+2

y1

=

x2+2

y2

，∴x₂y₁-x₁y₂=2（y₂-y₁），
∴

x0=- 2(y2-y1) 2(y2-y1) =-1 y0= x2-x1 2(y2-y1) = 1 2kAB

，
又由（1）知

2

6

≤kAB≤

1

2

，2≤

1

kAB

≤3

2

，
∴1≤y0≤

3 2

2

，
因此点P在定直线x=-1上，并且点P的纵坐标的取值范围是[1，

3 2

2

]．

点评：本题考查椭圆的方程及直线AB的斜率的取值范围的求法，考查点P在一条定直线上的证明，并求点P的纵坐标的取值范围，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．