Question

已知数列{a_n}满足a_n＞0，a₂=2，它的前n项和S_n=

n(1+an)

2

．
（1）求S₁、S₂、S₃，并猜想S_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用条件，代入计算，可得S₁、S₂、S₃；猜想S_n的表达式；
（2）运用数学归纳法证明步骤进行证明．

解答： 解：（1）∵S_n=

n(1+an)

2

，∴S₁=

1+a1

2

，∴a₁=1，∴S₁=1，
∵a₂=2，∴S₂=3，
同理S₃=6，猜想S_n=

n(1+n)

2

；
（2）用数学归纳法证明如下：
①n=1，2时，结论成立；
②假设n=k（k＞2）时，结论成立，即S_k=

k(1+k)

2

，
则n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1=

k(1+k)

2

+a_k+1，
∴

k(1+k)

2

+a_k+1=

(k+1)(1+ak+1)

2

，
∴（k-1）a_k+1=（k-1）（k+1），
∵k＞2，∴a_k+1=k+1，
∴S_k+1=

(k+1)(k+2)

2

，即n=k+1时，结论成立．
由①②可知S_n=

n(1+n)

2

．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．