Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=

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x³-4x+4；
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若方程f（x）=kx-

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在[-3，3]恰有两个不等实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间．导数小于0，得减区间，进而得到极值，注意偶函数的性质；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到的单调性和k的符号，以及直线恒过的定点，即可得到k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为当x≥0时，f（x）=

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x³-4x+4，
f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），当0＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0，
即当x≥0时，f（x）的减区间为[0，2]，增区间为[2，+∞），
由y=f（x）为偶函数，则当x≤0时，f（x）的减区间为（-∞，-2]，增区间为[-2，0]，
又f（-2）=f（2）=-

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，f（0）=4．
综上可得，f（x）的增区间为：[-2，0]，[2，+∞），减区间为：（-∞，-2]，[0，2]．
极大值f（0）=4，极小值f（-2）=f（2）=-

4

3

，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=f（x）在[0，2]为减函数，在[2，3]为增函数，
又f（2）=-

4

3

，f（3）=1，f（x）=kx-

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恒过点（0，-

4

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），
又f（x）=kx-

4

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过点（3，1）时，k=

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，f（x）=kx-

4

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过点（2，-

4

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）时，k=0，
则0≤k≤

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时，集合{xf（x）=kx-

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3

}有两个元素，
又y=f（x）是定义在R上的偶函数，
同理可得-

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≤k≤0时，集合{x|f（x）=kx-

4

3

}也有两个元素，
综上得实数k的取值范围是[-

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，

7

9

]．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查导数的运用：求单调区间和极值，考查单调性的运用和其偶性的运用，属于中档题．