Question

下列命题：
①已知数列{a_n}，a_n=

1

n(n+2)

（n∈N^*），那么

1

120

是这个数列的第10项，且最大项为第1项；
②数列

2

，

5

，2

2

，

11

，…的一个通项公式是a_n=

3n-1

；
③已知数列{a_n}，a_n=kn-5，且a₈=11，则a₁₇=29；
④已知a_n=a_n+1+5，则数列{a_n}是递减数列．
其中真命题的个数为（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法

专题：等差数列与等比数列

分析：①由于a_n=

1

n(n+2)

，可得a₁₀=

1

10×12

，由于a_n单调递减，即可判断出；
②由于数列

2

，

5

，2

2

，

11

，…，其被开方数为2，5，8，11，…为一等差数列，其首项为2，公差为3，其通项公式b_n=2+3（n-1）=3n-1，即可判断出；
③由于数列{a_n}，a_n=kn-5，且a₈=11，可得11=8k-5，解得k=2，可得a_n=2n-5，即可得出a₁₇；
④由于a_n=a_n+1+5，可得a_n+1-a_n=-5，因此数列{a_n}是递减等差数列．

解答： 解：①∵a_n=

1

n(n+2)

，∴a₁₀=

1

10×12

=

1

120

，那么

1

120

是这个数列的第10项，由于a_n单调递减，因此最大项为第1项，正确；
②∵数列

2

，

5

，2

2

，

11

，…，其被开方数为2，5，8，11，…为一等差数列，其首项为2，公差为3，其通项公式b_n=2+3（n-1）=3n-1，因此一个通项公式是a_n=

3n-1

，正确；
③∵数列{a_n}，a_n=kn-5，且a₈=11，∴11=8k-5，解得k=2，∴a_n=2n-5，∴a₁₇=2×17-5=29，正确；
④∵a_n=a_n+1+5，∴a_n+1-a_n=-5，∴数列{a_n}是递减等差数列，正确．
其中真命题的个数为4．
故选：A．

点评：本题考查了等差数列的通项公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．