Question

15．正四面体ABCD的棱AD与面ABC所成角的大小为arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 在正四面体ABCD中，过D作DH⊥平面ABC于点H，则H为底面正三角形ABC的外心，连接DH，则∠DAH=α，就是AD与平面ABC所成角，解直角三角形ADH即可．

解答 解：在正四面体ABCD中，过D作DH⊥平面ABC于点H，高为DH，
则H为底面正三角形ABC的外心，则∠DAH=α，就是AD与平面ABC所成角，
在Rt△ADH中，设棱长为a，
则AH=a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴cosα=$\frac{AH}{AD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．α=arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．