题目内容
已知正实数x，y，z满足x2+y2+z2=8，设M=
+
+
，当x、y、z为何值时，M取得最小值？并求出M的最小值．
| x4 |
| 9 |
| y4 |
| 16 |
| z4 |
| 25 |
考点：一般形式的柯西不等式
专题：选作题,不等式
分析：利用柯西不等式可得（
+
+
）（9+16+25）≥（x2+y2+z2）2，结合x2+y2+z2=8，可得结论．
| x4 |
| 9 |
| y4 |
| 16 |
| z4 |
| 25 |
解答：
解：利用柯西不等式可得（
+
+
）（9+16+25）≥（x2+y2+z2）2，
∵x2+y2+z2=8，
∴M≥
，
当且仅当
=
=
，即x=
，y=
，z=2，M取得最小值
．
| x4 |
| 9 |
| y4 |
| 16 |
| z4 |
| 25 |
∵x2+y2+z2=8，
∴M≥
| 32 |
| 25 |
当且仅当
| x4 |
| 81 |
| y4 |
| 256 |
| z4 |
| 625 |
| 6 |
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 32 |
| 25 |
点评：本题考查柯西不等式求最值，考查学生的计算能力，比较基础．
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