Question

解下列不等式：
（1）log₇3x＜log₇（4-x）；
（2）log_a（2a-1）＞1（其中a＞0，且a≠1）．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由于不等式两边的底数相等且大于1，根据对应的对数函数为增函数及对数函数的定义域，进而将不等式log₇3x＜log₇（4-x）转化为一个关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案．
当a＞1时，当0＜a＜1时，原不等式转化为不等式组，分别解不等式组可得．

解答： 解：（1）∵7＞1
∴y=log₇x为增函数
又∵log₇3x＜log₇（4-x）
∴

3x＞0 4-x＞0 3x＜4-x

（4分）
解得：0＜x＜1．（8分）
故log₇3x＜log₇（4-x）的解集为（0，1）．
（2）当a＞1时，原不等式log_a（2a-1）＞1=log_aa等价于

a＞1 2a-1＞a

，
解不等式组可得1＜a，
∴不等式的解集为：{a|1＜a}；
当0＜a＜1时，原不等式等价于

0＜a＜1 0＜2a-1＜a

，
解不等式组可得

1

2

＜a＜1，
∴不等式的解集为：{a|

1

2

＜a＜1或1＜a}；

点评：本题考查的知识点是对数不等式的解法，涉及分类讨论和对数函数的性质，掌握指数（对数）不等式解法的步骤是解答本题的关键．①将不等式两边底数化成一致（本题中两边底数已经相等，省略此步骤）②分析底数与1的关系，并判断对应指数（对数）函数的单调性③根据对应函数的单调性将不等式转化为整式不等式③对数不辞劳苦还要考虑真数必须大于0．