Question

若不等式x²+ax+1≥0对x∈[-1，1]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：分类讨论当x=0时，1≥0，成立；当x∈（0，1]时，x+

1

x

+a≥0；当x∈[-1，0）时，x+

1

x

+a≤0，利用函数y=x+

1

x

，单调性求解．

解答： 解：∵不等式x²+ax+1≥0对x∈[-1，1]恒成立，
∴当x=0时，1≥0，成立．
当x∈（0，1]时，x+

1

x

+a≥0，
∵y=x+

1

x

，x∈（0，1]，单调递减，
∴最小值为2，
∴2+a≥0，
即a≥-2，
当x∈[-1，0）时，x+

1

x

+a≤0，
∵y=x+

1

x

，x∈[-1，0），单调递减，
∴最大值为-2，
∴-2+a≤0，
即a≤2，
综上实数a的取值范围．：-2≤a≤2，

点评：本题考查了不等式在解决不等式恒成立中的应用，属于中档题．