题目内容
设函数f（x）=2cosxcos（x-
）-sinx（
sinx-cosx）+2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，
]时，求f（x）的最大值，单调区间．
（3）若f（x）的图象向x轴正方向平移m个单位后图象关于y轴对称，求m的最小值．
| π |
| 6 |
| 3 |
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，
| π |
| 2 |
（3）若f（x）的图象向x轴正方向平移m个单位后图象关于y轴对称，求m的最小值．
考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）根据两角差的余弦公式、倍角公式、两角和的正弦公式化简解析式，由周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由x的范围求出2x+
的范围，再由正弦函数的求出此函数的最值、单调区间；
（3）由余弦函数是偶函数、诱导公式得：2m+
=
+kπ(k∈Z)，求出m的表达式，由范围求出m的最小值．
（2）由x的范围求出2x+
| π |
| 3 |
（3）由余弦函数是偶函数、诱导公式得：2m+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解答：
解：（1）f（x）=2cosxcos（x-
）-sinx（
sinx-cosx）+2
=2cosx（
cosx+
sinx）-
sin2x+sinxcosx+2
=
（cos2x-sin2x）+2sinxcosx+2
=
cos2x+sin2x+2=2sin(2x+
)+2，
所以f（x）的最小正周期是π；
（2）由x∈[0，
]得，2x+
∈[
，
]，
当2x+
=
时，函数f（x）的取得最大值是4，
由2x+
∈[
，
]得，x∈[0，
]，
由2x+
∈(
，
]得，x∈（
，
]，
所以函数f（x）的增区间是[0，
]，减区间（
，
]；
（3）因为f（x）的图象向x轴正方向平移m个单位后图象关于y轴对称，
则令2m+
=
+kπ(k∈Z)得，m=
+
(k∈Z)，
所以m的最小值是
．
| π |
| 6 |
| 3 |
=2cosx（
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
=
| 3 |
=
| 3 |
| π |
| 3 |
所以f（x）的最小正周期是π；
（2）由x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
当2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
由2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
由2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
所以函数f（x）的增区间是[0，
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
（3）因为f（x）的图象向x轴正方向平移m个单位后图象关于y轴对称，
则令2m+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| kπ |
| 2 |
所以m的最小值是
| π |
| 12 |
点评：本题考查两角差的余弦公式、倍角公式、两角和的正弦公式，诱导公式，以及正弦函数的性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，|
|=3，|
|=2，点D满足2
=3
，∠BAC=60°，则
•
=（ ）
| AB |
| AC |
| BD |
| DC |
| AD |
| BC |
A、-
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、-
|
如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：
如图，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点