Question

15．已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，点P（1，2），A，B均在抛物线上，
（1）求该抛物线的标准方程；
（2）若线段AB的中点为（1，-1），求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为y²=2px．由点P（1，2）在抛物线上，求出p=2．由此能求出抛物线的方程和准线方程．
（2）设AB的方程与抛物线方程联立得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，由此利用线段AB的中点为（1，-1），求直线AB的方程．

解答 解：（1）由已知条件，
可设抛物线的方程为y²=2px．
∵点P（1，2）在抛物线上，
∴2²=2p×1，解得p=2．
故所求抛物线的方程是y²=4x；
（2）设直线AB的方程为y=kx+b，则设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，消去y可得k²x²+（2kb-4）x+b²=0
得${x_1}+{x_2}=\frac{4-2kb}{k^2}$，
又$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=2}\\{k+b=-1}\end{array}}\right.$，故解得k=-2，b=1，
所以直线AB的方程为y=-2x+1．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．