Question

10．求下列函数的导数：
（1）y=x-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$；
（2）y=sin⁴$\frac{x}{4}$+cos⁴$\frac{x}{4}$；
（3）y=$\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$+$\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$；
（4）y=-sin$\frac{x}{2}$（1-2cos²$\frac{x}{4}$）．

Answer 1

分析 先化简再求导即可．

解答 解：（1）∵y=x-sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=x-$\frac{1}{2}$sinx，∴y′=1-$\frac{1}{2}$cosx，
（2）y=sin⁴$\frac{x}{4}$+cos⁴$\frac{x}{4}$=（sin²$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$）²-2sin²$\frac{x}{4}$•cos²$\frac{x}{4}$=1-$\frac{1}{2}$（2sin$\frac{x}{4}$•cos$\frac{x}{4}$）²=1-$\frac{1}{2}$sin²$\frac{x}{2}$=1-$\frac{1}{4}$（1-cosx）=$\frac{3}{4}$+$\frac{1}{4}$cosx，
∴y′=-$\frac{1}{4}$sinx，
（3）y=$\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$+$\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$=$\frac{（1+\sqrt{x}）^{2}}{1-x}$+$\frac{（1-\sqrt{x}）^{2}}{1-x}$=$\frac{2（1+x）}{1-x}$=$\frac{-2（1-x）+4}{1-x}$=-$\frac{4}{x-1}$-2，
y′=（-$\frac{4}{x-1}$）′-2′=-4[（x-1）^-1]′=4（x-1）^-2=$\frac{4}{（x-1）^{2}}$，
（4）y=-sin$\frac{x}{2}$（1-2cos²$\frac{x}{4}$）=sin$\frac{x}{2}$（2cos²$\frac{x}{4}$-1）=sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$sinx，∴y′=$\frac{1}{2}$cosx．

点评 本题考查了三角函数的化简和导数的运算，关键是灵活化简，属于基础题．