Question

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.

(1)证明：PA⊥BD；

(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．

Answer 1

　(1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，

由余弦定理得BD＝AD.

从而BD²＋AD²＝AB²，故BD⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.

所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.

(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．

可取m＝(0，－1，－)．cos〈m，n〉＝＝－.

故二面角A－PB－C的余弦值为－.