Question

已知函数f（x）=sin（π-x）+cosx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象过点（α，

4 2

5

），其中-

3π

4

＜α＜

π

4

，求f（α-

π

4

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）运用诱导公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期和对称轴方程即可得到；
（Ⅱ）运用角的变换α=[α+

π

4

）-

π

4

，运用同角的平方关系和两角差的正弦公式，计算即可得到所求值．

解答： 解：由f（x）=sin（π-x）+cosx得
f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）．
（Ⅰ）由f（x）=

2

sin（x+

π

4

），
令x+

π

4

=kπ+

π

2

，解得x=kπ+

π

4

，k∈Z，
所以函数的最小正周期为2π，对称轴为直线x=kπ+

π

4

，k∈Z；
（Ⅱ）由函数f（x）的图象过点（α，

4 2

5

），
有

2

sin（α+

π

4

）=

4 2

5

，
即sin（α+

π

4

）=

4

5

，
由于-

3π

4

＜α＜

π

4

，则-

π

2

＜α+

π

4

＜

π

2

，
所以cos（α+

π

4

）=

1- 16 25

=

3

5

，
则有f（α-

π

4

）=

2

sinα=

2

sin[（α+

π

4

）-

π

4

]
=

2

（

2

2

sin（α+

π

4

）-

2

2

cos（α+

π

4

）]
=

4

5

-

3

5

=

1

5

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查角的变换，考查诱导公式和两角和差的正弦和余弦公式的运用，考查正弦函数的周期和对称轴问题，属于中档题．