Question

在公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}和公比为q（q＞0）的等比数列{b_n}中a₂=b₁=3，a₄=7，b₃=27，
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

a1+d=3 a1+3d=7

，

b1=3 b1q2=27

，由此能求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由c_n=a_n+b_n=（2n-1）+3ⁿ，利用分组求和法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵在公差为d（d≠0）的等差数列{a_n}和公比为q（q＞0）的等比数列{b_n}中a₂=b₁=3，a₄=7，b₃=27，
∴

a1+d=3 a1+3d=7

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．

b1=3 b1q2=27

，由q＞0，解得q=3，
∴bn=3n． （各得3分）…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=a_n+b_n=（2n-1）+3ⁿ…（7分）
∴T_n=[1+3+…+（2n-1）]+（3+3²+…+3ⁿ）
=

n(1+2n-1)

2

+

3(1-3n)

1-3

=n2+

3

2

(3n-1)．（ 分组得（1分），两个和各得2分）…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．