Question

1，4，9，16…这些数可以用图1的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第n个数为a_n+1，在图2的杨辉三角中，第n（n≥2）行是（a+b）^n-1展开式的二项式系数

C

0 n-1

，

C

1 n-1

，…，

C

n-1 n-1

记杨辉三角的前n行所有数之和为T_n．
（Ⅰ）求a_n和T_n的通项公式；
（Ⅱ）当n≥2时，比较a_n与T_n的大小，并加以证明．

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由正方形数的特点知an=n2，由二项式定理的性质，求出杨辉三角形第n行n个数的和，由此能求出a_n和T_n的通项公式．
（Ⅱ）2≤n≤4时，a_n＞T_n．n≥5时，a_n＜T_n．证明：2≤n≤4时，a_n＞T_n时，可以逐个验证；证明n≥5时，a_n＜T_n时，可以用数学归纳法证明．

解答： 解：（Ⅰ）由正方形数的特点知an=n2，
由二项式定理的性质，杨辉三角形第n行n个数的和为：
Sn

=C

0 n-1

+C

1 n-1

+

C

n-1 n-1

=2^n-1，
∴T_n=S₁+S₂+…+S_n
=1+2+2²+…+2^n-1
=2ⁿ-1．
（Ⅱ）a2=4，T2=22-1=3，∴a₂＞T₂．
a3=9，T3=23-1=7，∴a₃＞T₃．
a4=16，T4=24-1=15，∴a₄＞T₄．
a5=25，T5=25-1=31，∴a₅＜T₅．
∴2≤n≤4时，a_n＞T_n．
猜想2≤n≤4时，a_n＞T_n．n≥5时，a_n＜T_n．
证明：2≤n≤4时，a_n＞T_n，已证明．
下面用数学归纳法证明n≥5时，a_n＜T_n．
①当n=5时，a5=25，T5=25-1=31，∴a₅＜T₅．成立．
②假设n=k（k≥5，k∈N^*）时，猜想成立，即ak＜2k，∴k²＜2^k-1．
则Tk+1=2k+1-1=2•2k-1
=2（2^k-1）+1
＞2k²+1=k²+k²+1
＞k²+2k+1=（k+1）²，
∴n=k+1时，猜想也成立．
由①②知n≥5时，a_n＜T_n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意二项式定理和数学归纳法的合理运用．