Question

11．（1）在（1-x）⁵+（1-x）⁶+（1-x）⁷+（1-x）⁸的展开式中，求含x³的项的系数；
（2）若（2-x）⁶展开式中第二项小于第一项，但不小于第三项，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二项展开式的通项公式求得含x³的项的系数为-${C}_{5}^{3}$-${C}_{6}^{3}$-${C}_{7}^{3}$-${C}_{8}^{3}$，计算求得结果．
（2）由题意可得${C}_{6}^{2}$•2⁴•x²≤${C}_{6}^{1}$•2⁵•x＜${C}_{6}^{0}$•2⁶，由此解得x的范围．

解答 解：（1）在（1-x）⁵+（1-x）⁶+（1-x）⁷+（1-x）⁸的展开式中，
含x³的项的系数为-${C}_{5}^{3}$-${C}_{6}^{3}$-${C}_{7}^{3}$-${C}_{8}^{3}$=-121．
（2）若（2-x）⁶展开式中第二项小于第一项，但不小于第三项，
∴${C}_{6}^{2}$•2⁴•x²≤${C}_{6}^{1}$•2⁵•x＜${C}_{6}^{0}$•2⁶，解得0≤x＜$\frac{1}{3}$，
故要求的x的取值范围为：[0，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．