Question

1．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-a_n＞0，且${（{a_{n+1}}-{a_n}）^2}-2（{a_{n+1}}+{a_n}）+1=0$，猜想a_n=（　　）

• A． n
• B． n²
• C． n³
• D． $\sqrt{n+3}-\sqrt{n}$

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1＞a_n，且（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1+a_n）+1=0，取n=1，2，即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1＞a_n，且（a_n+1-a_n）²-2（a_n+1+a_n）+1=0，
∴（a₂-1）²-2（a₂+1）+1=0，
整理得a₂²-4a₂=0，∴a₂=4或a₂=0（舍）．
（a₃-4）²-2（a₃+4）+1=0，
整理，得a₃²-10a₃+9=0，a₃=9或a₃=1（舍）．
由此猜想a_n=n²．
故选：B．

点评 本题考查了数列的递推关系、方程的解法、猜想归纳能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．