Question

3．设函数f（x）=|2^x-1|的定义域和值域都是[a，b]（b＞a），则f（a）+f（b）=1．

Answer 1

分析 利用函数f（x）=|2^x-1|的定义域和值域都是[a，b]（b＞a），可知b＞a≥0．在[0，+∞）上是单调递增函数，即可得到答案．

解答 解：由题意：∵f（x）=|2^x-1|的值域为[a，b]，
∴b＞a≥0，
而函数f（x）=|2^x-1|在[0，+∞）上是单调递增函数，
因此，应有$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{a}-1|=a}\\{|{2}^{b}-1|=b}\end{array}\right.$，
解得：a=0，b=1．
所以：a+b=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了函数地方值域，定义域的关系和单调性的运用．属于基础题．