Question

12．已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．设g（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，
（1）求a的值；
（2）对任意x₁＞x₂＞0，$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜1恒成立，求实数m的取值范围；
（3）讨论方程g（x）=f（x）+ln（x+1）在[1，+∞）上根的个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，函数的导数，极值点，判断函数的单调性，求出函数的最小值，列出方程求解即可．
（2）利用函数的单调性的定义，构造函数利用导函数的符号，求解即可．
（3）推出$\frac{m}{x}=x-lnx（x≥1）$，通过图象知m≥1时有一个根，m＜1时无根，或利用函数的最值判断求解即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（-a，+∞）．f′（x）=1-$\frac{1}{x+a}$=$\frac{x+a-1}{x+a}$．
由f′（x）=0，解得x=1-a＞-a．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-a，1-a）	1-a	（1-a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	减函数	极小值	增函数

因此，f（x）在x=1-a处取得最小值，
故由题意f（1-a）=1-a=0，所以a=1．…（4分）
（2）由$\frac{{g（{x_1}）-g（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜1知g（x₁）-x₁＜g（x₂）-x₂对x₁＞x₂＞0恒成立
即h（x）=g（x）-x=lnx-x+$\frac{m}{x}$是（0，+∞）上的减函数．
h'（x）=$\frac{1}{x}-1-\frac{m}{x^2}$≤0对（0，+∞）恒成立，m≥x-x²对x∈（0，+∞）恒成立，
（x-x²）_max=$\frac{1}{4}$，m≥$\frac{1}{4}$…（8分）
（3）由题意知lnx+$\frac{m}{x}$=x，$\frac{m}{x}$=x-lnx（x≥1）
由图象知m≥1时有一个根，m＜1时无根．…（12分）
或解：m=x²-xlnx，（x²-xlnx）'=2x-lnx-1，x≥1，
又可求得x≥1时（2x-lnx-1）_min=1＞0，
∴x²-xlnx在x≥1时 单调递增．x≥1时，x²-xlnx≥1，m≥1时有一个根，m＜1时无根．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及计算能力．