Question

已知函数f （x）=ax-ln x（a∈R）．
（Ⅰ）求f （x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，求f （x）在区间（0，e]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数与函数单调性的关系，即可求得函数的单调区间；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，结合分类讨论，即可求得函数f （x）在区间（0，e]上的最小值．

解答： 解：（I）f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

（x＞0）（1分）
①当a≤0时，由于x＞0，故

ax-1

x

＜0
∴f （x） 的单调递减区间为（0，+∞）（3分）
②当a＞0时，由f′（x）=0得x=

1

a

当x∈（0，

1

a

），f′（x）＜0，f （x）为减函数；
当x∈（

1

a

，+∞），f′（x）＞0，f （x）为增函数．（5分）
综上，当a≤0时，函数f （x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f （x）的单调递减区间为（0，

1

a

），单调递增区间为（

1

a

，+∞）．（7分）
（II）根据（I）得到的结论，
当

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

时，f （x）在（0，e]上为减函数，f （x）_min=f （e）=ae-1（9分）
当

1

a

＜e，即a＞

1

e

时，f （x）在（0，

1

a

）上为减函数，在（

1

a

，e]上为增函数
∴f （x）_min=f （

1

a

）=1+ln a（12分）
综上，当0＜a≤

1

e

时，f （x）在区间（0，e]上的最小值为ae-1，当a＞

1

e

，f （x）在区间（0，e]上的最小值为1+ln a （14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间、最值等知识，考查学生分类讨论思想的运用，及运算求解能力，属于中档题．