Question

6．设P为双曲线${x^2}-\frac{y^2}{15}=1$右支上一点，M，N分别是圆（x+4）²+y²=4和（x-4）²+y²=1上的点，设|PM|-|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m-n|=（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），连接PF₁，PF₂，F₁M，F₂N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．

解答 解：圆C₁：（x+4）²+y²=4的圆心为（-4，0），半径为r₁=2；
圆C₂：（x-4）²+y²=1的圆心为（4，0），半径为r₂=1，
设双曲线${x^2}-\frac{y^2}{15}=1$的左右焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），
连接PF₁，PF₂，F₁M，F₂N，可得|PF₁|-|PF₂|=2是定值，|PM|=|PF₁|+r₁，
|PN|=（|PF₂|-r₂），所以|PM|-|PN|的最大值2a+r₁+r₂=5，
|PM|=|PF₁|-r₁，
|PN|=（|PF₂|+r₂），所以|PM|-|PN|的最小值：2a-r₁-r₂=-1．
可得m=5，n=-1，则|m-n|=6．
故选：C．

点评 本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．