Question

8．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=a，当n≥2时，${S}_{n}^{2}$=3n²a_n+S${\;}_{n-1}^{2}$，a_n≠0，n∈N*．
（1）求a的值；
（2）设数列{c_n}的前n项和为T_n，且c_n=3^n-1+a₅，求使不等式4T_n＞S₁₀成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d．当n≥2时，${S}_{n}^{2}$=3n²a_n+S${\;}_{n-1}^{2}$，a_n≠0，n∈N*．a₁=a，分别令n=2，3，可得：$（a+{a}_{2}）^{2}$=12a₂+a²，$（a+{a}_{2}+{a}_{3}）^{2}$=27a₃+$（a+{a}_{2}）^{2}$．化简解出即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=3n．S_n=$\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}n$．c_n=3^n-1+a₅=15+3^n-1．求得数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$+15n．代入不等式4T_n＞S₁₀，化简即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d．
当n≥2时，${S}_{n}^{2}$=3n²a_n+S${\;}_{n-1}^{2}$，a_n≠0，n∈N*．a₁=a，
分别令n=2，3，可得：$（a+{a}_{2}）^{2}$=12a₂+a²，$（a+{a}_{2}+{a}_{3}）^{2}$=27a₃+$（a+{a}_{2}）^{2}$．
∴（2a+d）²=12（a+d）+a²，2a+2a₂+a₃=27=5a+4d，
联立解得a=3，d=3．
（2）由（1）可得：a_n=3+3（n-1）=3n．
S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$=$\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{3}{2}n$．
c_n=3^n-1+a₅=15+3^n-1．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$+15n=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$+15n．
不等式4T_n＞S₁₀，即：4×[$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$+15n]＞$\frac{3}{2}×1{0}^{2}+\frac{3}{2}×10$．
化为：f（n）=2•3ⁿ+60n-167＞0，
f（2）=-29＜0，f（3）=67＞0．
∴$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$使不等式4T_n＞S₁₀成立的最小正整数n的值为3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．