Question

5．已知动点C到点F（1，0）的距离比到直线x=-2的距离小1，动点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（km＜0）与曲线E相交于A，B两个不同点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$，证明：直线l经过一个定点．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义，即可求得曲线E的方程；
（2）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得m=-5k，即可求得直线l的方程，则直线l必经过定点（5，0）．

解答 解：（1）由题意可得动点C到点F（1，0）的距离等于到直线x=-1的距离，
∴曲线E是以点（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，
设其方程为y²=2px（p＞0），∴$\frac{p}{2}=1$，∴p=2，
∴动点C的轨迹E的方程为y²=4x；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{4-2km}{k^2}$，${x_1}•{x_2}=\frac{m^2}{k^2}$．
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=5$，
∴x₁x₂+y₁y₂=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$=$\frac{{{m^2}+4km}}{k^2}=5$，
∴m²+4km-5k²=0，∴m=k或m=-5k，又km＜0，m=k舍去，m=-5k，满足△=16（1-km）＞0，
则直线l的方程为y=k（x-5），
∴直线l必经过定点（5，0）．

点评 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．