Question

【题目】已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．

（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；

（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；

（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）;（2）（﹣，）;（3）（﹣∞，﹣12）．

【解析】

（Ⅰ）设g（x）=ax（a＞0且a≠1），由a3=8解得a=2．故g（x）=2x．再根据函数是奇函数，求出m、n的值，得到f（x）的解析式；（Ⅱ）根据零点存在定理得到h（﹣1）h（1）＜0，解得即可；（Ⅲ）根据函数为奇函数和减函数，转化为即对一切t∈（-4，4），有t2+6t﹣3＞k恒成立，再利用函数的单调性求出函数的最值即可．

（1）解：设g（x）=ax（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2． ∴g（x）=2x ．

∴，

∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴，∴n=1，

∴又f（﹣1）=f（1），∴，解得m=2

∴

（2）解：由（1）知 ， 易知f（x）在R上为减函数，

又h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，

从而h（﹣1）h（1）＜0，即，

∴（a+ ）（a﹣）＜0，

∴﹣＜a＜，

∴a的取值范围为（﹣，）

（3）解：由（1）知， 又f（x）是奇函数，∴f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0，

∴f（6t﹣3）＜﹣f（t2﹣k）=f（k﹣t2），

∵f（x）在R上为减函数，由上式得6t﹣3＞k﹣t2 ，

即对一切t∈（﹣4，4），有t2+6t﹣3＞k恒成立，

令m（t）=t2+6t﹣3，t∈（﹣4，4），易知m（t）＞﹣12，

∴k＜﹣12，

即实数k的取值范围是（﹣∞，﹣12）．