题目内容
【题目】如图,平面ABEF⊥平面ABC,四边形ABEF为矩形,AC=BC.O为AB的中点,OF⊥EC. (Ⅰ)求证:OE⊥FC:
(Ⅱ)若 =
时,求二面角F﹣CE﹣B的余弦值.
【答案】证明:(Ⅰ)连结OC,∵AC=BC,O是AB的中点, 故OC⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面ABEF,
故OC⊥平面ABE,于是OC⊥OF.
又OF⊥EC,∵OF⊥平面OEC,
∴OF⊥OE,
又∵OC⊥OE,∴OE⊥平面OFC,
∴OE⊥FC;
(Ⅱ)解:由(I)得AB=2AF.不妨设AF=1,AB=2,
∵ =
,∴AC=
,则OC=
建立以O为坐标原点,OC,OB,OD分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
则F(0,﹣1,1),E(0,1,1),B(0,1,0),C( ,0,0),则
=(﹣
,1,1),
=(0,﹣2,0),
设平面FCE的法向量为 =(x,y,z),
则 .
∴ =(1,0,
),
∵ =(0,0,1),
=(
,﹣1,0),
∴同理可得平面CEB的法向量为 =(1,
,0),
∴cos< ,
>=
=
,
∵二面角F﹣CE﹣B是钝二面角,
∴二面角F﹣CE﹣B的余弦值为﹣ .
【解析】(Ⅰ)连结OC,则OC⊥AB,从而得到OC⊥OF,进而得到OF⊥OE,由此能证明OE⊥FC. (Ⅱ)由(I)得AB=2AF.不妨设AF=1,AB=2建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可.
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