Question

在无穷数列{a_n}中，a₁=1，对于任意n∈N^*，都有a_n∈N^*，a_n＜a_n+1．设m∈N^*，记使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m．
（Ⅰ）设数列{a_n}为1，3，5，7，…，写出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）若{a_n}为等比数列，且a₂=2，求b₁+b₂+b₃+…+b₅₀的值；
（Ⅲ）若{b_n}为等差数列，求出所有可能的数列{a_n}．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m，即可写出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）确定b₁=1，b₂=b₃=2，b₄=b₅=b₆=b₇=3，b₈=b₉=…=b₁₅=4，b₁₆=b₁₇=…=b₃₁=5，b₃₂=b₃₃=…=b₅₀=6，分组求和，即可求b₁+b₂+b₃+…+b₅₀的值；
（Ⅲ）若{b_n}为等差数列，先判断a_n≥n，再证明a_n≤n，即可求出所有可能的数列{a_n}．

解答： 解：（Ⅰ）a_n≤1，则b₁=1，a_n≤2，则b₂=1，a_n≤3，则b₃=3．…（3分）
（Ⅱ）因为{a_n}为等比数列，a₁=1，a₂=2，
所以a_n=2^n-1，…（4分）
因为使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m，
所以b₁=1，b₂=b₃=2，b₄=b₅=b₆=b₇=3，b₈=b₉=…=b₁₅=4，b₁₆=b₁₇=…=b₃₁=5，b₃₂=b₃₃=…=b₅₀=6，…（6分）
所以b₁+b₂+b₃+…+b₅₀=243．…（8分）
（Ⅲ）解：由题意，得1=a₁＜a₂＜…＜a_n＜…，
得a_n≥n．…（9分）
又因为使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m，使得a_n≤m+1成立的n的最大值为b_m+1，
所以b₁=1，b_m≤b_m+1．…（10分）
设a₂=k，则k≥2．
假设k＞2，即a₂=k＞2，
则当n≥2时，a_n＞2；当n≥3时，a_n≥k+1．
所以b₂=1，b_k=2．
因为{b_n}为等差数列，
所以公差d=b₂-b₁=0，
所以b_n=1，．
这与b_k=2（k＞2）矛盾，
所以a₂=2．…（11分）
又因为a₁＜a₂＜…＜a_n＜…，
所以b₂=2，
由{b_n}为等差数列，得b_n=n．…（12分）
因为使得使得a_n≤m成立的n的最大值为b_m，
所以a_n≤n，
由a_n≥n，得a_n=n．…（13分）

点评：本题考查等比数列的性质，考查学生对题意的理解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．