Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-x²-3x+

4

3

，直线l：ax+2y+c=0．
（1）若对任意c∈R，直线l与曲线y=f（x）不相切，求实数a的取值范围；
（2）若直线l与曲线y=f（x）（0≤x≤2）相切，求实数c的取值范围；
（3）若a=9，当x∈[0，2]，函数y=f（x）图象在直线l的下方，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，利用配方法求出导函数的范围，再由直线l与曲线y=f（x）不相切求得实数a的取值范围；
（2）求出函数f（x）=

1

3

x³-x²-3x+

4

3

在[0，2]上的切线方程，化直线l为斜截式，由截距相等得到c的函数，然后利用导数求函数在[0，2]上的值域得c得范围；
（3）把函数y=f（x）图象在直线l的下方转化为不等式，分类参数c后构造函数g（x）=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

，然后利用导数求最值，则c的范围可求．

解答： 解：（1）由f（x）=

1

3

x³-x²-3x+

4

3

，得
f′（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4．
∵对任意c∈R，直线l与曲线y=f（x）不相切，
∴-

a

2

＜-4，解得：a＞8．
∴实数a的取值范围是（8，+∞）；
（2）∵f′（x）=x²-2x-3，
∴f′(x0)=x02-2x0-3（0≤x₀≤2），
∴切线方程为y-

1

3

x03+x02+3x0-

4

3

=(x02-2x0-3)(x-x0)，
即y=-

2

3

x03+x02+

4

3

．
由ax+2y+c=0，得：y=-

a

2

x-

c

2

．
则-

c

2

=-

2

3

x03+x02+

4

3

．
∴c=

4

3

x03-2x02-

8

3

．
c′=4x02-4x0，
当x₀∈（0，1）时，c′0．
∴=

4

3

x03-2x02-

8

3

在（0，1）上是减函数，
在（1，2）上是增函数．
又f（0）=-

8

3

，f（1）=-

10

3

，f（2）=0．
∴c的范围是[-

10

3

，0]；
（3）a=9，则l：9x+2y+c=0．
∵当x∈[0，2]时函数y=f（x）图象在直线l的下方，
∴

1

3

x³-x²-3x+

4

3

＜-

9

2

x-

c

2

在x∈[0，2]时恒成立，
即c＜-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

在x∈[0，2]时恒成立，
令g（x）=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

，
∴g′（x）=-2x²+4x-3，
∵g′（x）=-2x²+4x-3＜0恒成立，
∴函数g（x）单调递减．
函数在x∈[0，2]的最小值等于g（2）=-6．
∴c＜-6即可满足条件．
故c的取值范围为：（-∞，-6）．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数最值的求法，训练了函数构造法和分离变量法，考查了利用导数求函数的最值，是压轴题．