Question

在某文艺会场中央有一块边长为a米（a为常数）的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E，F分别为BC，CD边上异于点C的动点．现在顶点A处有视角∠EAF=45°的摄像机，正录制移动区域△ECF内表演的某个文艺节目．设DF=x米，BE=y米．
（1）试将y表示为x的函数； 
（2）求△ECF面积S的最大值．

Answer 1

考点：解三角形

专题：解三角形

分析：（1）由题意利用tan（∠EAD+∠EAB）=1，即可将y表示为x的函数，注明定义域； 
（2）利用CE=a-y，CF=a-x，表示出△ECF面积S，然后求解面积的最大值．

解答： 解：（1）由题意得tan∠EAD=

x

a

，tan∠EAB=

y

a

，
因为∠EAF=45°，所以∠FAD+∠EAB=45°，…（2分）
所以tan(∠EAD+∠EAB)=

tan∠EAD+tan∠EAB

1-tan∠EADtan∠EAB

=1，即

x a + y a

1- xy a2

=1，…（5分）
所以y=

a2-ax

x+a

，其中0＜x＜a．…（7分）
（2）由CE=a-y，CF=a-x，
知△ECF的面积S=

1

2

CE•CF=

1

2

（a-y）（a-x）=

1

2

(a-

a2-ax

x+a

)(a-x)
=

ax(a-x)

x+a

，0＜x＜a，…（9分）
设x+a=t，则x=t-a，其中0＜t＜2a，所以S=

2a(t-a)(2a-t)

t

=2a

-t2+3at-2a2

t

=2a[3a-(t+

2a2

t

)]≤2a(3a-2

2a2

)=(6-4

2

)a2，…（14分）
当且仅当t=

2

a，即x=(

2

-1)a时取等号，…（15分）
故△ECF面积S的最大值为(6-4

2

)a2．…（16分）

点评：本题考查解三角形的知识，三角形的面积的求法以及面积的最值的解法，考查转化思想以及计算能力．