Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，其左焦点F₁到点P（2，1）的距离为

10

．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F₂的直线与椭圆交于不同的两点M、N，则△F₁MN内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由左焦点F₁到点P（2，1）的距离为

10

，求出c，根据离心率为

1

2

，求出a，由此可求椭圆方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的径R，则△F₁MN的周长=4a=8，S△F1MN=

1

2

|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，因此S_△F1MN最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F₁MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．

解答： 解：（1）∵左焦点F₁到点P（2，1）的距离为

10

，
∴

(2+c)2+1

=

10

，
∴c=1，
∵离心率为

1

2

，
∴a=2，
∴b=

3

，
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的径R，
则△F₁MN的周长=4a=8，S△F1MN=

1

2

（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R
因此S△F1MN最大，R就最大，
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，
代入椭圆方程得（3m²+4）y²+6my-9=0，
由根与系数的关系得y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

，
则S△F1MN=

1

2

|F₁F₂||y₁-y₂|=

12 m2-1

3m2+4

，
令t=

m2+1

，则t≥1，
则S△F1MN=

12

3t+ 1 t

，
令f（t）=3t+，则f′（t）=3-

1

t2

，
当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S_△F1MN≤3，
即当t=1，m=0时，S_△F1MN≤3，
S_△F1MN=4R，∴R_max=

3

4

，这时所求内切圆面积的最大值为

9

16

π．
故直线l：x=1，△F₁MN内切圆面积的最大值为

9

16

π．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出S△F1MN最大，R就最大是关键．