Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax²+bx，a≠0．
（1）若b=2，且函数h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当a=3，b=2时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的解析式和导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．
（2）求函数的导数，利用函数导数和最值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）若b=2，则h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

1

2

ax²-2x，
对函数求导数，得h′（x）=-

ax2+2x-1

x

（x＞0），
依题意，得h′（x）＜0在（0，+∞）上有解．
即ax²+2x-1＞0在x＞0时有解．
∴△=4+4a＞0且方程ax²+2x-1=0至少有一个正根．
∴a＞-1，
∴a≠0，
∴-1＜a＜0，或a＞0．
（2）当a=3，b=2时，函数h（x）=f（x）-g（x）=lnx-

3

2

x²-2x，（x＞0），
h′（x）=-

ax2+2x-1

x

=-

3x2+2x-1

x

=-

(x+1)(3x-1)

x

，
由h′（x）＞0，解得-1＜x＜

1

3

，此时0＜x＜

1

3

，此时函数单调递增，
由h′（x）＜0，解得-1＜x＜

1

3

，此时x＞

1

3

，此时函数单调递减，
当x=

1

3

时，函数取得极大值，同时也是最大值h（

1

3

）=ln

1

3

-

5

6

，
故h（x）=f（x）-g（x）的取值范围是h（x）≤ln

1

3

-

5

6

．

点评：本题主要考查导数的应用，利用导数和函数的单调性，最值之间的关系是解决本题的关键．