Question

称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：

①；②.

（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；

（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；

（3）记n阶“期待数列”的前k项和为：

（i）求证：；

（ii）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

Answer 1

（1）①若，由①得，，得，矛盾．-----------1分

若，则由①=0，得，-------------3分

由②得或．

所以，．数列的通项公式是

或------------------------------------4分

记数列的前项和为，

则由（i）知，，

，而，

，从而，，

又，

则，-------------------------16分

，

与不能同时成立，

所以，对于有穷数列，若存在使，则数列的和数列不能为阶“期待数列”． ----------------------18分