Question

已知函数f（x）=a^x-

1

ax

+1（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数的定义域和值域；
（2）讨论函数的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）使函数f（x）有意义，显然x∈R，所以f（x）的定义域为R．令y=f（x），则能得到：a^2x+（1-y）a^x-1=0，可以把该方程看成关于a^x的一元二次方程，该方程有解，所以△=（1-y）²+4≥0，显然该不等式的解是R，即y∈R，所以函数f（x）的值域是R；
（2）求f′（x），讨论a即可判断f′（x）的符号，从而判断函数f（x）的单调性．

解答： 解：（1）使函数f（x）有意义，则x∈R，∴函数f（x）的定义域为R；
令y=ax-

1

ax

+1，则整理成：a^2x+（1-y）a^x-1=0，可以把该方程看成关于a^x的一元二次方程，该方程有解，则：△=（1-y）²+4≥0，显然对于任意y∈R，都有△≥0成立，∴函数f（x）的值域为R；
（2）f′（x）=axlna+

axlna

a2x

=lna(ax+

1

ax

)；
∴当0＜a＜1时，lna＜0，f′（x）＜0，∴函数f（x）在R上单调递减；
当a＞1时，lna＞0，f′（x）＞0，∴函数f（x）在R上单调递增．

点评：考查函数的定义域，值域的求法，根据导数符号判断函数单调性的方法．