Question

设a_n=（2n-1）•4ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ•n，求数列a_n的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：首先把数列分成两部分bn=(2n-1)4n+1和cn=(-1)n•n，对{b_n}采用错位相加法求前n项和，对{c_n}采用分类讨论求前n项和，通过运算求结果．

解答： 解：a_n=（2n-1）•4ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ•n，
故设：bn=(2n-1)4n+1数列{b_n}的前n项和为T_n，
先求T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=1•4²+3•4³+…+（2n-3）•4ⁿ+（2n-1）4ⁿ⁺¹4ⁿ⁺¹ ①
4Tn=1•43+3•44+…+(2n-3)4ⁿ⁺¹+（2n-1）4ⁿ⁺² ②
①-②得：-3Tn=2(42+43+…+4n+1)-16-（2n-1）4ⁿ⁺²
解得：Tn=

(32n-32)4n+80-4n+2

9

设：cn=(-1)n•n，数列{c_n}的前n项和为K_n，
当n为偶数时，Kn=

n

2

当n为奇数时，Kn=

n-1

2

-n
数列a_n的前n项和Sn=

(32n-32)4n+80-4n+2 9 - n 2 (n为偶数) (32n-32)4n+80-4n+2 9 + n+1 2 (n为奇数)

点评：本题考查的知识要点：数列的求和，错位相减法的应用，分类讨论思想在题中的应用及相关的运算问题．