Question

在平面直角坐标系xOy中，已知F₁，F₂分别是双曲线G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线G与抛物线y²=-4x有一个公共的焦点，且过点（-

6

2

，1）
（Ⅰ）求双曲线G的方程；
（Ⅱ）设直线l与双曲线G相切于第一象限上的一点P，连接PF₁，PF₂，设l的斜率为k，直线PF₁，PF₂的斜率分别为k₁，k₂，试证明

1

kk1

+

1

kk2

为定值，并求出这个定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，作F₂Q⊥F₂P，设F₂Q交l于点Q，证明：当点P在双曲线右支上移动时，点Q在一条定直线上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）依题意得c=1，

3

2a2

-

1

b2

=1，由此能求出双曲线方程．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），l：y-y₀=k（x-x₀），则x2-(k(x-x0)+y0)2=

1

2

，代入双曲线方程得(1-k2)x2+(2k2x0-2ky0)x-k2x02+2x0y0k-

1

2

-y02=0，由此能证明

1

kk1

+

1

kk2

=

y0

x0

（

x0+1

y0

+

x0-1

y0

）=2（定值）．
（Ⅲ）由kPF2=

y0

x0-1

，得

y= x0x-1/2 y0 y=- (x0-1)(x-1) y0

，由此能证明点Q恒在定直线x=

1

2

上．

解答： （Ⅰ）解：依题意得c=1，∴a²+b²=1，
∵双曲线过点（-

6

2

，1），∴

3

2a2

-

1

b2

=1，
∴a2=b2=

1

2

，…（2分）
∴双曲线方程为x2-y2=

1

2

…（3分）
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀），l：y-y₀=k（x-x₀），
∴x2-(k(x-x0)+y0)2=

1

2

，代入双曲线方程得：(1-k2)x2+(2k2x0-2ky0)x-k2x02+2x0y0k-

1

2

-y02=0，
依题意得△=0，
∴(x02-

1

2

)k2-2x0y0k+y02+

1

2

=0，
∴y02k2-2x0y0k+x02=0，∴k=

x0

y0

…（6分）
∴k1=

y0

x0+1

，k2=

y0

x0-1

，
∴

1

kk1

+

1

kk2

=

y0

x0

（

x0+1

y0

+

x0-1

y0

）=2（定值）…（8分）
（Ⅲ）证明：kPF2=

y0

x0-1

，
∴kF2Q=-

x0-1

y0

，∴l：y=

x0x- 1 2

y0

…①，
F2Q：y=-

x0-1

y0

(x-1)…②，
由①②得

y= x0x-1/2 y0 y=- (x0-1)(x-1) y0

，
∴2x0x-x0-x+

1

2

=0，∴(x0-

1

2

)(2x-1)=0，
∵x0≠

1

2

，∴2x-1=0，
∴点Q恒在定直线x=

1

2

上．…（13分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查直线斜率乘积的倒数和为定值的证明，考查动点恒在定直线上的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的灵活运用．