Question

已知函数f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+

(a+b+c)2

3

（a，b，c为实数）
①求f（x）的最小值m（用a，b，c表示）；
②若a-b+2c=3，求（1）中m的最小值．

Answer 1

考点：柯西不等式在函数极值中的应用

专题：选作题,不等式

分析：①将函数化简，利用配方法，即可求f（x）的最小值m；
②由柯西不等式可得（a²+b²+c²）[1²+（-1）²+2²]≥（a-b+2c）²，即可得出结论．

解答： 解：①f(x)=3x2-(2a+2b+2c)x+a2+b2+c2+

(a+b+c)2

3

=3(x-

a+b+c

3

)2+a2+b2+c2，
故当x=

a+b+c

3

时，m=f(x)min=a2+b2+c2…（3分）
②由柯西不等式可得（a²+b²+c²）[1²+（-1）²+2²]≥（a-b+2c）²
∵a-b+2c=3，
∴6m≥9，∴m得最小值为

3

2

，当且仅当a=

1

2

，b=-

1

2

，c=1时取等号．               …（7分）

点评：本题考查函数的最小值，考查柯西不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．