Question

若曲线（ax+y-3）（x+ay-1）=0与圆x²+（y-2）²=1恰有两个公共点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,直线与圆的位置关系

专题：计算题,分类讨论,直线与圆

分析：通过a=0与a≠0，分别讨论，曲线与圆的交点的个数，通过点到直线的距离与圆的半径比较，即可得到结果．

解答： 解：若a=0，则曲线（ax+y-3）（x+ay-1）=0为两条相交直线，y=3与x=1，直线x=1与圆x²+（y-2）²=1恰有两个公共点；
a≠0时，曲线（ax+y-3）（x+ay-1）=0，曲线为：ax+y-3=0或x+ay-1=0，
ax+y-3=0与圆x²+（y-2）²=1，必有两个公共点，则直线x+ay-1=0与圆x²+（y-2）²=1，没有公共点，
即

|2-3| a2+1 ＜1 |2a-1| a2+1 ＞1

，解得a＜0或a＞

4

3

；
ax+y-3=0与圆x²+（y-2）²=1，没有公共点，则直线x+ay-1=0与圆x²+（y-2）²=1，必有两个公共点，
可得

|2-3| a2+1 ＞1 |2a-1| a2+1 ＜1

，不等式组无解．
直线ax+y-3=0与直线x+ay-1=0与圆x²+（y-2）²=1，都有一个公共点，
可得：

|2-3| a2+1 =1 |2a-1| a2+1 =1

，解得a=0．
综上a的取值范围是{a|a≤0或a＞

4

3

}．
故答案为：{a|a≤0或a＞

4

3

}

点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆与曲线方程的关系，点到直线的距离公式的应用，考查分类讨论思想的应用．