Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为

2

a，则AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角的正弦值等于

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：取A₁B₁的中点E，由正三棱柱性质得面A₁B₁C₁⊥面A₁B₁BA，从面推导出∠C₁AE为AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角，由此能求出结果．

解答： 解：如图，取A₁B₁的中点E，连结C₁E，AE，
由正三棱柱性质得面A₁B₁C₁⊥面A₁B₁BA，交线是A₁B₁．
又C₁E⊥A₁B₁，∴C₁E⊥面A₁B₁BA．
∴∠C₁AE为所求．
∵AB=a，C₁C=

2

a，
∴Rt△C₁EA中，C₁E=

3 a

2

，AE=

3

2

a．
∴tan∠C₁AE=

C1E

AE

=

3

3

．∴∠C₁AE=30°．
∴AC₁与面ABB₁A₁所成的角为30°．
∴AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角的正弦值为sin30°=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．